8.5. Intervalos de confianza

Concepto 

La finalidad de un intervalo de confianza es estimar un parámetro desconocido de una población a partir de una muestra. Al estimar la media de la población a partir de una muestra, podemos cometer un error de estimación |X- μ|.

La estimación por intervalo consiste en acotar el error con una alta probabilidad 1 – α (nivel de confianza) de forma que |X- μ| no sea superior a un estimado máximo (Emáx).

El error de estimación máximo (Emáx) es función de la variabilidad de la variable en la población, del nivel de confianza (n.c.) y del tamaño de la muestra:

El n.c. o probabilidad 1 – α significa que si extrajésemos todas las muestras posibles de una población, calculásemos la media en cada una de ellas y el intervalo de confianza, una proporción 1 – α de todos los intervalos de confianza contendrá la media poblacional y una proporción α no lo contendrá.

Tamaño de la muestra

Interesa que un intervalo sea lo más estrecho posible y con alta probabilidad. A mayor nivel de confianza mayor es el error de estimación máximo, por lo que más amplio será el intervalo y menos precisa será la estimación. Una forma de mantener y reducir el error de estimación máximo dado y aumentar el n.c., es aumentando n.

Otro factor que interviene es la variabilidad de la variable, cuanto mayor sea la desviación típica de la población, mayor debe ser n para alcanzar una misma precisión.

Para calcular el tamaño de la muestra desconociendo σ, hay que sustituir en la ecuación, la desviación típica por la cuasidesviación típica (Sn-1) y z1- α/2 por tn-1, 1-α/2 (tabla VI).

Aplicaciones

Los pasos para aplicar un intervalo de confianza son los siguientes:

• Establecer un error de estimación máximo para un nivel de confianza 1 – α.

• Obtener el tamaño de la muestra n para el error de estimación máximo especificado.

• Extraer una muestra aleatoria de tamaño n y medir la variable.

• Calcular el estadístico (es estimador del parámetro) con las medidas obtenidas.

• Calcular los límites del intervalo de confianza.

Intervalo de confianza para la media

Límites de los intervalos de confianza y supuestos para la estimación de la media:

• π es la proporción de la población que no es conocida.

• n es el tamaño de la muestra y se debe cumplir nπ(1-π) > 5 para la aproximación a la normal.

Los límites inferior y superior del intervalo de confianza se obtienen a partir del error de estimación máximo. Como desconocemos π, que es lo que precisamente queremos estimar, operamos con la proporción muestral P. Así, si en Emáx sustituimos π por la proporción muestral P, los límites inferior y superior del intervalo de confianza son: -Ver archivo adjunto-.